关于函数连续性的六大定理，综合搜索结果整理如下：

一、介值定理（零点定理的延伸）

若函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f（a） \neq f（b）$，则对于任意介于 $f（a）$ 与 $f（b）$ 之间的值 $C$，在开区间 $（a, b）$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f（c） = C$。

二、最值定理

若函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f（x）$ 在该区间上必定存在最大值和最小值。

三、罗尔定理

若函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $（a, b）$ 内可导，且 $f（a） = f（b）$，则至少存在一点 $c \in （a, b）$，使得 $f'（c） = 0$。

四、拉格朗日中值定理

若函数 $f（x）$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $（a, b）$ 内可导，则存在一点 $c \in （a, b）$，使得

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$。

五、一致连续性

若函数 $f（x）$ 在区间 $I$ 上连续，则对于任意正数 $\varepsilon$，存在正数 $\delta$，使得当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|f（x_1） - f（x_2）| < \varepsilon$。一致连续是连续的加强条件，但连续不一定一致连续。

六、连续函数的性质（补充）

运算性质：

有限个连续函数经过有限次四则运算（和、差、积、商）后仍连续。

反函数性质：

连续单调函数的反函数也连续。

复合函数性质：

连续函数的复合函数仍连续。

注：部分定理如介值定理、罗尔定理等可通过反证法证明，例如证明闭区间上连续函数的最值定理时，假设不存在最值点，导出矛盾。