高等数学中有许多著名的公式，以下是其中一些最为人所熟知的：
欧拉恒等式
$$
e^{i\pi} + 1 = 0
$$
这个公式将五个最重要的数学常数 $e$、$i$、$\pi$、$1$ 和 $0$ 联系在一起，是数学中最美的公式之一。
高斯积分
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}
$$
高斯积分在概率论和连续傅里叶变换等计算中有广泛应用，并且通过微积分学可以解析求解。
傅立叶变换
傅立叶变换能将满足一定条件的函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。它在不同研究领域有多种变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。
三角函数的基本关系式
平方关系：
$$
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
$$
商的关系：
$$
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \quad \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}
$$
平方关系：
$$
\tan^2(\alpha) + 1 = \sec^2(\alpha), \quad \cot^2(\alpha) + 1 = \csc^2(\alpha)
$$
这些关系式在三角函数的计算和推导中非常重要。
导数公式
基本积分表：
$$
\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C, \quad \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C, \quad \int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C
$$
三角函数的有理式积分：
$$
\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx = -\ln|\cos(x)| + C
$$
一些初等函数：
$$
\int e^x \, dx = e^x + C, \quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
$$
重要极限
两个重要极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
$$
反三角函数性质
反三角函数的基本性质：
$$
\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}, \quad \arctan(x) + \arccot(x) = \frac{\pi}{2}
$$
高阶导数公式
莱布尼兹公式：
$$
\frac{d^n}{dx^n}(uv) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}u}{dx^{n-k}} \frac{d^k v}{dx^k}
$$
中值定理与导数应用
罗尔定理、拉格朗日中值定理等，这些定理在微分学中有着重要的应用。
曲线积分与曲面积分的关系
高斯公式：
$$
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
$$
斯托克斯公式：
$$
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (
abla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS
$$
这些公式在高等数学的学习和应用中起着至关重要的作用，掌握这些公式对于深入理解数学理论和解决实际问题都具有重要意义。
