伯特兰·罗素（Bertrand Arthur William Russell）是20世纪最具影响力的哲学家和数学家之一，他在数学与哲学领域的贡献主要体现在以下几个方面：

一、数学领域的核心贡献

数理逻辑与逻辑原子主义

罗素创立了 逻辑原子主义，主张将复杂的数学概念分解为基本逻辑单元（原子命题），并通过逻辑推理构建数学体系。这一理论为现代数理逻辑的发展奠定了基础，使数学成为严谨的逻辑体系。

罗素悖论

1901年，罗素发现了 罗素悖论，即“所有集合构成的集合是否包含自身”的矛盾。该悖论揭示了传统集合论的缺陷，促使数学家们重新审视集合论的基础，推动了20世纪数学基础的第三次革命。

公理集合论

罗素与阿尔弗雷德·诺斯·怀特海合作提出 公理集合论（也称罗素集合论），通过引入类型理论解决罗素悖论，改进了传统集合论的自我指涉问题。

《数学原理》

1903-1914年，罗素与怀特海合著《数学原理》三卷本，系统化地阐述了数学逻辑基础，试图将数学完全归结为逻辑推理，尽管未完全成功，但对数学哲学影响深远。

二、哲学领域的重大建树

分析哲学的创立

罗素与G·E·摩尔共同创立 分析哲学，主张通过逻辑分析解决哲学问题，强调数学在哲学中的基础作用。分析哲学强调严谨的逻辑推理和科学方法，对后世哲学发展影响深远。

认识论与形而上学

罗素探讨了知识的本质、真理的标准等认识论问题，并在形而上学领域提出 新实在论，主张存在独立于心灵的实体，反对唯心主义。

伦理学与政治哲学

罗素关注社会正义、道德伦理等问题，主张通过理性分析实现社会改良。他积极参与和平运动，倡导通过教育和社会改革解决社会矛盾。

哲学史与方法

《西方哲学史》是罗素最重要的哲学著作，系统梳理了西方哲学发展脉络。他强调哲学与科学的统一，主张用逻辑方法分析社会现象。

三、其他领域的拓展

罗素还涉足教育学、社会学、政治学等领域，主张通过教育普及理性思维，并在联合国等机构推动国际和平。其思想演变从新黑格尔主义转向新实在论，体现了对绝对主义的批判与对科学理性的追求。

综上，罗素通过逻辑创新、悖论揭示与理论构建，在数学与哲学领域奠定了现代分析传统，并持续影响后世思想发展。