欧拉公式（Euler's formula）：

$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$

其中 $e$ 是自然对数的底数，$i$ 是虚数单位，$x$ 是实数。这个公式由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出，将三角函数、指数函数和复数联系在一起，被广泛应用于数学、物理和工程领域。

傅里叶级数（Fourier series）：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

其中 $f（x）$ 是一个周期函数，$a_n$ 和 $b_n$ 是系数，$n$ 是正整数。这个公式由法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）提出，用于将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和，被广泛应用于信号处理和波动现象的研究中。

高斯积分（Gaussian integral）：

$$\int e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$

其中 $e$ 是自然对数的底数，$\pi$ 是圆周率。这个公式由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）提出，用于计算高斯函数的积分，被广泛应用于概率论、统计学和物理学中。

柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

其中 $u（x, y）$ 和 $v（x, y）$ 是复变函数 $f（z） = u（x, y） + iv（x, y）$ 的实部和虚部。

毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem）：

$$a^2 + b^2 = c^2$$

这个定理由古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出，描述了直角三角形的三边关系。

欧拉定理（Euler's theorem）：

对于简单多面体，顶点数 $V$、面数 $F$ 及棱数 $E$ 之间的关系为：

$$V + F - E = 2$$

这个定理由欧拉提出，用于描述简单多面体的拓扑性质。

韦达定理（Vieta's formulas）：

如果一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，那么：

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

这个定理由意大利数学家韦达（François Viète）提出，用于描述二次方程的根与其系数之间的关系。

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）：

在平面几何中，如果一个三角形的三边分别与另一个三角形的三边相交，那么这三个交点将原三角形的三边分为六段，这六段线段乘积相等。

塞瓦定理（Ceva's theorem）：

在一个三角形中，如果从一点到三边的垂线分别交这三边于点 $D$、$E$、$F$，那么：

$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

这个定理由意大利数学家塞瓦（Giovanni Ceva）提出，用于判断三点共线的情况。

西摩松定理（Simson's theorem）：

若从三角形 $ABC$ 的外接圆上一点 $P$ 作三边的垂线，三垂足分别为 $D$、$E$、$F$，且 $DE$、$EF$、$FD$ 共线，那么：

$$PA^2 + PB^2 = PC^2$$

这个定理由英国数学家西摩松（William Simson）提出，用于描述外接圆上一点到三角形顶点的距离关系。

托勒密定理（Ptolemy's theorem）：

在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即：

$$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$$

这个定理